O Programa de Doutorado em Matemática (PDM) em Associação/Rede entre a Universidade Federal do Pará (UFPA) com a Universidade Federal do Amazonas (UFAM) possui três (03) áreas de concentração de pesquisa, são elas: Análise, Geometria e Matemática Aplicada. Cada uma delas possui 02 linhas de pesquisa cada.
A Análise possui as seguintes linhas de pesquisas:
i) Equações Diferenciais Parciais Elípticas;
ii) Equações Diferenciais Parciais Hiperbólicas, Parabólicas e Aplicações.
A Geometria possui as seguintes linhas de pesquisas:
i) Análise Geométrica;
ii) Geometria Das Subvariedades
A Matemática Aplicada possui as seguintes linhas de pesquisas:
i) Análise Numérica
ii) Estatística
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: ANÁLISE
Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais Elípticas (EDPs Elípticas)
Descrição: Uma equação diferencial parcial ou equação de derivadas parciais (EDP) é uma equação envolvendo funções de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. As equações diferenciais modelam uma ampla variedade de fenômenos da Física, Física Matemática, Biologia, Química, Astronomia e Engenharias, etc. As E.D.P Elípticas se destacam por descrever estados estacionários de fenômenos de evolução associados a EDPs Parabólicas e Hiperbólicas. As técnicas modernas utilizadas nas pesquisas de E.D.P Elípticas envolvem a Análise Funcional, Método variacional, Teoria dos pontos críticos, Métodos topológicos, Teoremas de pontos fixos, Método de sub e supersolução, entre outros.
Linha de Pesquisa: Equações Diferenciais Parciais Hiperbólicas, Parabólicas e Aplicações (EDPs Hiperbólicas, Parabólicas e Aplicações)
Descrição: Essas EDPs são fundamentais para modelar diversos fenômenos em várias áreas da Física, Engenharia, Biologia, etc. As EDPs Hiperbólicas descrevem sistemas dinâmicos que geralmente envolvem propagação de ondas e fenômenos relacionados ao tempo, como a propagação de calor, som, luz, ou ainda de partículas em movimento. Já as EDPs Parabólicas descrevem fenômenos onde o comportamento temporal é mais difuso ou suavizado, como o processo de difusão ou condução de calor. Elas estão associadas à propagação de informações ou influências de maneira "suave" no tempo. No estudo das EDPs Hiperbólicas, Parabólicas e Aplicações são temas centrais a Análise assinótica de Modelos de evolução e o Comportamento assinótico de redes não lineares com Mecanismos dissipativos.
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: GEOMETRIA
Linha de Pesquisa: Análise Geométrica
Descrição: A extensão da análise de operadores diferenciais em domínios do espaço euclidiano para o contexto de variedades Riemannianas é um tópico moderno e relevante que envolve conceitos geométricos e analíticos e tem recebido bastante atenção na literatura recente. Suas técnicas já permitiram resolver problemas que permaneciam em aberto há décadas, como é o caso da célebre Conjectura de Poincaré. Nossos pesquisadores têm investigado, nesta linha, problemas relacionados a equações diferenciais em ambientes geométricos curvos. As ferramentas utilizadas se alternam de acordo com aspectos analíticos ou geométricos. Uma das propostas é estender para variedades Riemannianas os resultados mais relevantes já existentes para domínios do espaço euclidiano. Fluxos de métricas são considerados para uma melhor compreensão dos entes geométricos de uma variedade Riemanniana, como por exemplo generecidade de autovalores de operadores elípticos. Investigaremos problemas envolvendo curvaturas prescritas utilizando, dentre outras ferramentas, a teoria de existência e regularidade de equações elípticas não lineares. Além de caracterizações de variedades Riemannianas via ferramentas clássicas da análise e da geometria, como por exemplo o cálculo das variações e geometria das subvariedades.
Linha de Pesquisa: Geometria das Subvariedades
Descrição: Os trabalhos de pesquisa na linha de geometria das subvariedades compreendem principalmente dois tópicos:
A) Imersões de Variedades Khalerianas: O programa de trabalho proposto neste tópico consta principalmente do estudo de vários problemas relacionados a imersões de variedades kählerianas em espaços simétricos. O espaço ambiente poderá ter ou não estrutura complexa. Tais problemas envolvem harmonicidade, pluri-harmonicidade, holomorfia, isotropia, estabilidade, rigidez, restrições topológica e geométricas etc. Esta linha de pesquisa envolve: 1) A caracterização de subvariedades kählerianas extrinsecamente simétricas, como por exemplo o mergulho "standars" do CPn em espaços euclideanos. 2) O Estudo de estabilidade das imersões pluri-mínimas. 3) O Estudo do modo como a estabilidade da aplicação de Gauss F, com valores no grassmaniano Gm(Rn),de uma imersão ppmc f no Rn, influência as características da imersão. 4) O Estudo das submersões riemanianas com fibras (2,0) - geodésicas ou ppmc. Este estudo conduz naturalmente a outros problemas como: 1) O Estudo de estabilidade das imersões pluri-mínimas. Quando o espaço ambiente tem estrutura complexa tais imersões estão em uma situação intermediária entre as mínimas e as holomorfas. Uma vez que todas as subvariedades holomorfas são pluri-mínimas e todas as pluri-mínimas são mínimas, mas as recíprocas só são válidas em casos especiais.Será importante obter condições que caracterizem a estabilidade de tais imersões ou que possibilitem estimar os índices de Morse. 2) O Estudo do modo como a estabilidade da aplicação de Gauss F, com valores no grassmaniano Gm(Rn), de uma imersão ppmc f no Rn, influência as características da imersão. Já mostramos que a geometria de f está estritamente relacionada à geometria de F. 3) O Estudo das submersões riemanianas com fibras (2,0) - geodésicas ou ppmc. As imersões (2,0) - geodésicas de uma variedade de Kähler M em Rn foram classificadas por D. Ferus. No caso em que a variedade imersa tem dimensão 2, serão consideradas as imersões cujo veto curvatura media é paralelo em alguns espaços simétricos, tais como os espaços projetivos complexos, produtos de espaços de curvatura constante etc, procurando a codimensão essencial e a discrição da imersão quando a superfície tem gênero zero ou satisfaz outras propriedades.
B) Subvariedade Harmônicas de Espaços Homogêneos Este tópico aborda as aplicações harmônicas definidas em uma variedade complexa e tomando valores em um espaço homogêneo. A geometria destas subvariedades são estudadas a partir dos invariantes associados à ação de um grupo de Lie sobre o espaço homogêneo e em particular sobre a subvariedade.
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MATEMÁTICA APLICADA
Linha de Pesquisa: Análise Numérica
Descrição: Análise em dimensão finita para equações diferenciais parciais em que o parâmetro de malha joga uma regra importante. Análise de controlabilidade exata em dimensão finita.
Análise numérica das soluções associadas a problema de evolução onde busca-se analisar as propriedades de estabilidade exponencial uniforme para sistemas hiperbólicos ou parabólicos no contexto de análise numérica, principalmente, sistemas em que a propriedade de decaimento exponencial não corra ou aconteça de modo condicionado, tais como para sistemas dissipativos de Timoshenko, sistemas de ondas acopladas em paralelo com mecanismos de dissipações mecânicas, sejam elas globais, localizadas ou pontuais. Além das questões de decaimento exponencial numérico, podemos analisar também as questões de taxas ótimas de aproximações.
Linha de Pesquisa: Estatística
Descrição: Abrange Teorias Estatísticas bem como Teorias probabilísticas para explicar e frequência da ocorrência de eventos.