Doutorado
Análise Funcional (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Espaços vetoriais normados. Espaços de Banach. Espaço quociente. Operadores lineares e seus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema da limitação uniforme. Teorema do gráfico fechado. Teorema da aplicação aberta. Topologia fraca. Teorema de Banach-Alaoglu. Espaços reflexivos. Espaços de Hilbert. Conjuntos Ortonormais. Teorema da representação de Riesz. Operadores compactos. Teoria espectral de Operadores Compactos Auto-adjuntos.
Aspectos Recentes de EDP I (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Teoria do Grau em Dimensão Finita: Definição do Grau Topológico para funções de classe C^2; Extensão do grau a funções de contínuas; Propriedades Básicas da Teoria do Grau, aplicações - Teorema do Ponto Fixo de Brower; Teorema da Invariância de Domínios de Brower; Teorema da Curva de Jordan. Teoria do Grau em Dimensão Infinita: grau de Laray-Schauder, definição e propriedades, aplicações - Problema de Dirichlet; Problemas de segunda ordem quasilinear; Resultados Globais sobre problemas de Autovalores não Lineares, bifurcações. Método de Galerkin: aplicações a EDP Elípticas.
Aspectos Recentes de EDP II (4 créditos, 60 horas)
Aspectos Recentes de EDP III (4 créditos, 60 horas)
Distribuições e Equações Diferenciais Parciais (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Funções Testes. Distribuições. Transformada de Fourier. Espaços de Sobolev. Imersões. Teorema de Traço. Problemas Elípticos não Homogêneos.
Equações Diferenciais Parciais Não Lineares (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Método de Compacidade-Teorema de Aubin-Lions. Equações não Lineares de Ondas. Poço de Potencial. Sistemas de Navier-Stokes. Equações não Lineares do Tipo Schroedinger. Método de Monotonia. Pseudo Laplaciano. Operadores Monótonos. Equações Parabólicas Monótonas. Equações Hiperbólicas com Viscosidade.
Equações Diferenciais Parciais (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Equações não lineares de primeira ordem. O problema de Cauchy para equações quasi-lineares. Equação de Burgers e a condição do choque (condição de Rankine-Hugoniot). Ondas de choque e ondas de rarefação. Equações de Buckley-Leverett. Equações Hiperbólicos de segunda ordem. Propagação de singularidade. A equação da onda. Equações de Águas Rasas. O teorema de Cauchy-Kowalevski, a identidade de Green e o teorema de unicidade de Holmgren. Soluções fracas; distribuições. Equações elipticas. A equação de Laplace. A equação de Poison para a pressão ou função de corrente. Equação da onda em variáveis espaciais. Método das médias esféricas, princípio de Duhamel em métodos e energia. Equações parabólicas. Princípio do máximo. Análise de unicidade e regularidade.
Equações Elípticas (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Funções harmônicas; Exemplo de Zaremba; Problema de Dirichlet no Retângulo, Método de separação de variáveis, Candidato a solução; Teorema de Existência de Soluções; Regularidade da solução: outros modelos; Problema de Dirichlet no Disco, Candidato a solução; Teorema de Existência de Solução Clássica; Comentários gerais sobre outros tipos de solução.
Equações Integrais (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Espaços de Hilbert. Formas sesquilineares e aplicações lineares. Operadores Compactos. Operadores simétricos limitados. Operadores de Fredholm. Cálculo dos Vetores e Valores Próprios do Operador Integral. Núcleos gerais. Métodos de aproximações sucessivas. Alternativa de Fredholm e aplicações ao estudo dos problemas de Dirichlet-Neumann.
Estágio de Docência em Matemática (2 créditos, 30 horas)
Ementa: Auxílio em disciplinas de graduação oferecido pelas faculdades de Matemática e Estatística, auxílio aos alunos com dificuldade de aprendizado, resolução de exercícios e atividades correlatas.
Geometria das Subvariedades (4 créditos, 60 horas)
Ementa: As equações fundamentais e o teorema fundamental das imersões isométricas. Imersões umbílicas e mínimas. Hipersuperfícies convexas. Subvariedades com curvatura não positiva. Redução de codimensão. Imersões isométricas entre espaços de curvatura seccional constante. Rigidez isométrica local. Rigidez isométrica global. Composição de imersões isométricas. Subvariedades conformemente euclideanas. Imersões conformes. Outros Tópicos.
Geometria Riemanniana (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Métricas riemannianas. Conexão de Levi-Civitta. Geodésicas. Vizinhanças normais e totalmente normais. Tensor de curvatura. Derivação covariante de tensores. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Imersões isométricas; Equações de Gauss, Ricci e Codazzi. Variedades riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espaços de curvatura constante. Variações do comprimento de arco; aplicações. Teorema de comparação de Rauch; Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge e outras aplicações. O Teorema do índice de Morse. O lugar dos pontos mínimos. Outros tópicos.
Geometria Riemanniana de Espaços Homogêneos (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Grupos e álgebras de Lie; métricas bi-invariantes; representação adjunta; forma bilinear de Killing. Espaços homogêneos; métricas invariantes a esquerda e bi-invariantes. Espaços simétricos; exemplos. Geometria do Laplaciano. Outros tópicos.
Grupos e Álgebra de Lie (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Grupos de Lie, álgebras de Lie, aplicação exponencial, subgrupos e subalgebras de Lie, teorema de Cartan do subgrupo fechado, grupos localmente e globalmente isomorfos, grupos simplesmente conexos, fórmula de Campbell-Hausdorff e a diferencial da exponencial. Espaços homogêneos. Estrutura: grupos nilpotentes e solúveis, grupos compactos e introdução aos grupos semi-simples. Sub-álgebras de Lie e ideais, representação adjunta, automorfismos e derivações, representações, álgebras nilpotentes, solúveis e semi-simples.
Imersões Riemannianas (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Imersões isométricas em variedades riemannianas. Teoremas de Hartmann-Nireberg e Chern-Kuiper. Redução de codimensão. As equações fundamentais e o teorema fundamental das imersões isométricas. Imersões totalmente geodésicas, umbílicas e mínimas. O axioma dos r-planos e das r-esferas. Hipersuperfícies convexas. Hipersuperfícies de Einstein. Subvariedades com curvatura não positiva. Redução de codimensão. Imersões isométricas entre espaços de curvatura seccional constante. Formas bilineares planas. Rigidez isométrica local e global. Subvariedades conformemente euclidianas. Imersões conformes.
Introdução aos Sistemas Dinâmicos (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Campos Lineares: hiperbolicidade, genericidade e estabilidade. Densidade dos campos estáveis. Estabilidade local. Teorema de Grobman-Hartman. Teorema da variedade estável, transformação de Poincaré, transversalidade. Teorema de Kupka-Smale. Estabilidade e densidade dos campos de Morse-Smale. Teorema de Peixoto. Funções de Morse, campos gradientes de Morse-Smale.
Métodos Variacionais (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Funcionais diferenciáveis no sentido de Frechet e Gateaux. Variação do gradiente de um Funcional. Equações de Euler. Condições suficientes de extremos. Estudos do funcional do cálculo clássico de variações. Minimização de funcionais de valores próprios. Iniciação as inequações variacionais. Teorema de Lions-Stampacchia.
Semigrupos e Equações Diferenciais Parciais (4 créditos, 60 horas)
Ementa: A Função exponencial. Semigrupos contínuos. Teorema de Hille Yosida. Fórmulas Exponenciais. Operadores dissipativos. Teorema de Lummer-Phillips. Semigrupos Compactos e Holomorfos. Teoria da Pertubação. Problema de Cauchy Abstrato. Aplicações às Equações Diferenciais Parciais.
Subvariedades Mínimas (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Imersões mínimas em variedades riemannianas. Primeira variação do volume de uma subvariedade. Subvariedades mínimas. Subvariedades mínimas em espaços euclideanos e em esferas. Órbitas de um grupo de isometrias e subvariedades mínimas. Geometria Kahleriana e a desigualdade de Wirtinger. Segunda variação do volume; o Teorema do Índice para subvariedades mínimas; estabilidade. O Problema de Plateau e suas generalizações. Superfícies mínimas. O Teorema de Chern-Osserman. O Teorema de Osserman sobre superfícies mínimas com curvatura total finita. Superfícies mínimas mergulhadas. Outros tópicos.
Superfície de Riemann (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Definição de curvas algébricas e superfícies de Riemann. Funções meromorfas e diferenciais meromorfas. Singularidades de curvas algébricas planas, estrutura local. Teorema de normalização. Divisores, números de interseção e teorema de Bezout. Fórmula de Hurwitz e fórmula do gênero de curvas planas. Teorema de Riemann-Roch. Teorema de Abel-Jacobi. Aplicações. Espaços de recobrimento e o teorema de uniformização. Relação com a geometria hiperbólica. Relação entre superfícies de Riemann e curvas algébricas.
Tópicos Especiais de Geometria I-A (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Tópicos avançados e desenvolvimento recente da Geometria Diferencial.
Tópicos Especiais de Geometria I-B (2 créditos, 30 horas)
Ementa: Tópicos avançados e desenvolvimento recente da Geometria Diferencial
Tópicos Especiais de Geometria I-C (1 créditos, 15 horas)
Tópicos Especiais de Geometria II-A (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Tópicos avançados e desenvolvimento recente da Geometria Diferencial.
Tópicos Especiais de Geometria II-B (2 créditos, 30 horas)
Ementa: Tópicos avançados e desenvolvimento recente da Geometria Diferencial.
Tópicos Especiais de Geometria II-C (1 créditos, 15 horas)
Tópicos Especiais de Métodos Matemáticos I (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Tópicos de topologia algébrica; Teoria de Morse e aplicações a problemas elípticos; Teoria do Grau de Brouwer e de Leray-Schauder. Aplicações às Equações Diferenciais; Problemas elípticos com ausência de compacidade. Espaços de Lebesgue-Sobolev com expoentes variáveis e Aplicações a problemas elípticos envolvendo o p(x)-Laplaciano e Expoentes Variáveis.
Tópicos Especiais de Métodos Matemáticos II (4 créditos, 60 horas)
Tópicos Especiais de Métodos Matemáticos III (4 créditos, 60 horas)
Tópicos Especiais em Matemática Aplicada I-A (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Diferenças Finitas. Métodos Explícitos. Métodos Implícitos. Estabilidade. Teorema de equivalência de Lax-Milgran. Métodos Semidiscretos. Energia Numérica.
Tópicos Especiais em Matemática Aplicada II-A (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Semigrupos de operadores lineares. Geradores infinitesimais. Semigrupo de Contrações. Semigrupo dissipativo. Teorema de Hille-Yosida. Teorema de Lumer-Phillips.
Tópicos Especiais em Matemática Aplicada I-B (2 créditos, 30 horas)
Tópicos Especiais em Matemática Aplicada II-B (2 créditos, 30 horas)
Tópicos Especiais em Matemática Aplicada I-C (1 créditos, 15 horas)
Tópicos Especiais em Matemática Aplicada II-C (1 créditos, 15 horas)
Topologia das Variedades (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Grupo fundamental. Espaços de recobrimentos. CW-complexos. Introdução á Teoria de Morse: Lema de Morse; Superfícies de nível regulares; nível crítico e colagem de células. Cohomologia de deRham: Lema de Poincaré; Sequência de Mayer-Vietoris; aplicações. Grau de aplicações. Índice de campo de vetores. Teorema de Poincaré-Hopf. Dualidade de Poincaré.
Topologia Diferencial (4 créditos, 60 horas)
Ementa: Variedades diferenciáveis, definições, exemplos, variedades com bordo, fibrado tangente. Aplicações diferenciáveis: imersões, submersões, mergulhos. Partições da unidade. Teorema do mergulho de Whitney. Espaço de funções: topologia, aproximações. Teorema de Sard. Transversalidade. Teoria de interseção módulo 2. Teoria de interseção orientada. Índice de Poincaré-Hopf. Teorema do ponto fixo de Lefstchetz.