Área de Concentración: Análisis
Línea de búsqueda:
Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticas
Estudio de aspectos teóricos y aplicados de problemas matemáticos involucrando ecuaciones diferenciales Parciales Elípticas Lineales y no lineales, Análisis Matemático y Numérico de modelos envolviendo fluidos viscosos e incompresibles. Tales problemas se caracterizan por su profunda importancia matemática al utilizar técnicas relevantes tales como Métodos Variables, Puntos fijos, Técnicas Multiplicadoras, Método de Galerkin y otros.
Línea de búsqueda:
Ecuaciones Diferenciales Parciales Hiperbólicas, Parabólicas Y Aplicaciones
En esta línea de investigación se abordan varios temas, entre los cuales destacamos:
A) Análisis Asinótico de Modelos de Evolución: el objetivo principal en esta línea de investigación es detectar propiedades cualitativas de las soluciones de modelos significativos de ecuaciones diferenciales parciales de evolución lineales o no lineales, más precisamente el tipo de comportamiento de las soluciones cuando el tiempo T es muy grande. Es casi imposible en estos modelos tener la solución explícita del problema, sin embargo, usando la teoría de Lyapunov así como la teoría de semigrupo de operadores lineales podemos, en varias situaciones, descubrir tasas uniformes de decaimiento de las soluciones, sea en el sentido exponencial o en el sentido polinomial.
B) Comportamiento Asinótico de ecuaciones diferenciales parciales acopladas con Mecanismos Disipadores. Los sistemas de tipo Timoshenko, sistemas de ondas acopladas, sistemas poro-elásticos entre otros, son ampliamente explotados en el contexto de la estabilización.
C) Análisis numérico de las soluciones asociadas a problemas de evolución: analizar las propiedades de estabilidad exponencial uniforme para sistemas hiperbólicos o parabólicos en el contexto de análisis numérico, principalmente, sistemas en los que la propiedad de decaimiento exponencial no ocurra u ocurra de modo condicionado, tales como: para sistemas disipadores de Timoshenko, sistemas de ondas acopladas en paralelo con mecanismos de disipaciones mecánicas, ya sean globales, localizadas o puntuales. Además de las cuestiones de decaimiento exponencial numérico, podemos analizar también las cuestiones de tasas óptimas de aproximaciones.
Área de Concentración: Geometría
Línea de Investigación:
Análisis Geométrico
La extensión del análisis de operadores diferenciales en ámbitos del espacio euclidiano para el contexto de variedades Riemannianas es un tópico moderno y relevante que involucra conceptos geométricos y analíticos y ha recibido bastante atención en la literatura reciente. Sus técnicas ya permitieron resolver problemas que permanecían abiertos hace décadas, como es el caso de la célebre Conjetura de Poincaré. Nuestros investigadores han investigado, en esta línea, problemas relacionados con ecuaciones diferenciales en ambientes geométricos curvos. Las herramientas utilizadas se alternan de acuerdo con aspectos analíticos o geométricos. Una de las propuestas es extender para variedades Riemannianas los resultados más relevantes ya existentes para dominios del espacio euclidiano. Los flujos de métricas se consideran para una mejor comprensión de los entes geométricos de una variedad Riemanniana, como por ejemplo, generecidad de autovalores de operadores elípticos. Investigaremos problemas envolviendo curvaturas prescritas utilizando, entre otras herramientas, la teoría de existencia y regularidad de ecuaciones elípticas no lineales. Además de caracterizaciones de variedades Riemannianas mediante herramientas clásicas del análisis y de la geometría, como por ejemplo, el cálculo de las variaciones y la geometría de las subvariedades.
Línea de Investigación:
Geometría de las Subvariedades
Los trabajos de investigación en la línea de geometría de las subvariedades comprenden principalmente dos tópicos: A) Inmersiones de Variedades Khalerianas: el programa de trabajo propuesto en este tópico consta principalmente del estudio de varios problemas relacionados con inmersiones de variedades kählerianas en espacios simétricos. El espacio ambiente puede tener o no estructura compleja. Tales problemas involucran armonía, pluri-armonía, holomorfía, isotropía, estabilidad, rigidez, restricciones topológicas y geométricas, etc. Esta línea de investigación implica: 1) La Caracterización de Subvariedades Kählerianas Extrínsecamente Simétricas, como por ejemplo el buceo "standars" del CPn en espacios euclídeos; 2) el estudio de estabilidad de las inmersiones pluri-mínimas; 3) El estudio del modo como la estabilidad de la aplicación de Gauss F, con valores en el germen Gm (Rn), de una inmersión ppm en el Rn, influye en las características de la inmersión; 4) El Estudio de las Sumersiones Riemanianas con fibras (2,0) -geodésicas o ppmc. Este estudio conduce naturalmente a otros problemas como: 1) El Estudio de Estabilidad de las inmersiones Pluri-mínimas, cuando el espacio ambiente tiene estructura compleja tales inmersiones están en una situación intermedia entre las mínimas y las holomorfas, ya que todas las subvariedades holomorfas son pluri-mínimas y todas las pluri-mínimas son mínimas, pero las recíprocas sólo son válidas en casos especiales. Es importante obtener condiciones que caractericen la estabilidad de tales inmersiones o que posibiliten estimar los índices de Morse; 2) El estudio del modo como la estabilidad de la aplicación de Gauss F, con valores en el grassmaniano Gm (Rn), de una inmersión ppm f en el Rn, influye en las características de la inmersión. Ya mostramos que la geometría de f está estrictamente relacionada a la geometría de F; 3) El Estudio de las Sumersiones Riemanianas con fibras (2,0) -geodésicas o ppmc. Las inmersiones (2,0) -geodésicas de una variedad de Kähler M en Rn fueron clasificadas por D. Ferus. En el caso en que la variedad inmersa tiene dimensión 2, se considerarán las inmersiones cuyo vector curvatura media es paralelo en algunos espacios simétricos, tales como los espacios proyectivos complejos, productos de espacios de curvatura constante, etc, buscando la codimensión esencial y la discreción de la inmersión cuando la superficie tiene un género cero o satisface otras propiedades. B) Subvariedad Armónica de Espacios Homogéneos: este tema aborda las aplicaciones armónicas definidas en una variedad compleja y tomando valores en un espacio homogéneo. La geometría de estas subvariedades se estudia a partir de los invariantes asociados a la acción de un grupo de Lie sobre el espacio homogéneo y en particular sobre la subvariedad.
Línea de Investigación:
Procesamiento de Señales
Flujo óptico se constituye en una rica fuente de información sobre la geometría de los objetos rígidos. En esta línea de investigación pretendemos utilizar cámaras 3D conjuntamente con métodos de restricción global para obtener soluciones de las ecuaciones que relacionan el flujo óptico con la geometría y los desplazamientos del objeto. También en esta línea podemos abordar una serie de problemas inversos, entre los cuales la superposición de estructuras lineales en imágenes de rayos X, oclusión, y desplazamientos múltiples en transparencias son ejemplos típicos, pueden ser escritos como una contracción total entre tensores Rij..k Cij ..k = 0 (suma n) donde C = ulxu2...xuN (producto tensional de N vectores). Se busca identificar las condiciones que permiten determinar C, como un trabajo de investigación aplicado podemos desarrollar una cámara plenóptica. Esta parte de la investigación tiene una connotación más práctica. La cámara puede ser construida a partir de una cámara de alta resolución y una matriz de microlentes. Cada píxel de la imagen de una cámara se hace de pequeñas imágenes. Cada una de ellas corresponde a un microlente. Se tiene por lo tanto una colección de imágenes en baja resolución que se pueden combinar diferentemente para obtener imágenes de alta resolución. Podemos entonces investigar si esta colección de pequeñas imágenes nos permite recuperar información sobre la geometría del objeto fotografiado.
Línea de Investigación:
Teoría Geométrica del Control
Los investigadores de esta línea se dedican al estudio del Control óptimo en Grupos de Lie y Métricas SubRiemannianas. Se trata de un proyecto de investigación en matemáticas que reúne tres áreas afines: Geometría Diferencial, Estructuras SubRiemannianas y Teoría del Control óptimo, involucrando los siguientes tópicos: Control óptimo para Sistemas Lineales en Grupos de Lie y Espacios Homogéneos y Frentes de Onda, Singularidades y Causticas en Variedades Subriemannas Homogéneas.