Doctorado
Análisis Funcional (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Espacios vectoriales normados. Espacios de Banach. Espacio cociente. Operadores lineales y sus adjuntos. Teorema de Hahn-Banach. Teorema de la limitación uniforme. Teorema del gráfico cerrado. Teorema de la aplicación abierta. Topología débil. Teorema de Banach-Alaoglu. Espacios reflexivos. Espacios de Hilbert. Conjuntos Ortonormales. Teorema de la representación de Riesz. Operadores compactos. Teoría espectral de Operadores Compactos Auto-adjuntos.
Aspectos recientes de EDP I (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Teoría del Grado en Dimensión Finita: Definición del Grado Topológico para funciones de clase C^2; Extensión del grado a funciones de continuas; Propiedades Básicas de la Teoría del Grado, aplicaciones - Teorema del punto fijo de Brower; Teorema de la Invariación de Dominios de Brower; Teorema de la curva de Jordan. Teoría del Grado en Dimensión Infinita: grado de Laray-Schauder, definición y propiedades, aplicaciones - Problema de Dirichlet; Problemas de segundo orden quasilineal; Resultados globales sobre problemas de autovalores no lineales, bifurcaciones. Método de Galerkin: aplicaciones a EDP Elípticas.
Aspectos Recientes de EDP II (4 créditos, 240 horas)
Aspectos Recientes de EDP III (4 créditos, 240 horas)
Distribuciones y Ecuaciones Diferenciales Parciales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Funciones Pruebas. Distribuciones. Transformada de Fourier. Espacios de Sobolev. Inmersiones. Teorema de trazo. Problemas elípticos no homogéneos.
Ecuaciones Diferenciales Parciales no Lineales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Método de Compacidad-Teorema de Aubin-Lions. Ecuaciones no lineales de onda. Pozo de Potencial. Sistemas de Navier-Stokes. Ecuaciones no lineales del tipo Schroedinger. Método de Monotonía. Pseudo Laplaciano. Operadores Monótonos. Ecuaciones Parabólicas Monótonas. Ecuaciones Hiperbólicas con Viscosidad.
Ecuaciones Diferenciales Parciales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Ecuaciones no lineales de primer orden. El problema de Cauchy para las ecuaciones cuasi-lineales. Ecuación de Burgers y la condición del choque (condición de Rankine-Hugoniot). Ondas de choque y ondas de rarefacción. Ecuaciones de Buckley-Leverett. Ecuaciones Hiperbólicas de segunda orden. Propagación de singularidad. La ecuación de la onda. Ecuaciones de aguas poco profundas. El teorema de Cauchy-Kowalevski, la identidad de Green y el teorema de unicidad de Holmgren. Soluciones débiles; distribuciones. Ecuaciones elípticas. La ecuación de Laplace. La ecuación de Poison para la presión o función de corriente. Ecuación de la onda en variables espaciales. Método de las medias esféricas, principio de Duhamel en métodos y energía. Ecuaciones parabólicas. Principio del máximo. Análisis de unicidad y regularidad.
Ecuaciones Elípticas (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Funciones armónicas; Ejemplo de Zaremba; Problema de Dirichlet en el Rectángulo, Método de separación de variables, Candidato a la solución; Teorema de Existencia de Soluciones; Regularidad de la solución: otros modelos; Problema de Dirichlet en el Disco, Candidato a la solución; Teorema de Existencia de Solución Clásica; Comentarios generales sobre otros tipos de solución.
Ecuaciones integrales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Espacios de Hilbert. Formas sesquilineales y aplicaciones lineales. Operadores compactos. Operadores simétricos limitados. Operadores de Fredholm. Cálculo de los Vectores y Valores propios del Operador Integral. Núcleos generales. Métodos de aproximaciones sucesivas. Alternativa de Fredholm y aplicaciones al estudio de los problemas de Dirichlet-Neumann.
Práctica de Docencia en Matemáticas (2 créditos, 30 horas)
Contenido: Auxilio en disciplinas de pregrado ofrecido por las facultades de Matemática y Estadística, auxilio a los alumnos con dificultad de aprendizaje, resolución de ejercicios y actividades relacionadas.
Geometría de las Subvariedades (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Las ecuaciones fundamentales y el teorema fundamental de las inmersiones isométricas. Inmersiones umbílicas y mínimas. Hipersuperficies convexas. Subvariedades con curvatura no positiva. Reducción de la codimensión. Inmersiones isométricas entre espacios de curvatura seccional constante. Rigidez isométrica local. Rigidez isométrica global. Composición de inmersiones isométricas. Subvariedades por consiguiente euclidianas. Inmersiones conformes. Otros Temas.
Geometría Riemanniana (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Métricas riemannianas. Conexión de Levi-Civitta. Geodésico. Vecindad normal y totalmente normal. Tensor de curvatura. Derivación covariante de tensores. Campos de Jacobi y puntos conjugados. Inmersiones isométricas; Ecuaciones de Gauss, Ricci y Codazzi. Variedades riemannianas completas; Teorema de Hopf-Rinow, Teorema de Hadamard. Espacios de curvatura constante. Variaciones de la longitud de arco; aplicaciones. Teorema de comparación de Rauch; Teorema de Bonnet-Myers, Teorema de Synge y otras aplicaciones. El Teorema del índice de Morse. El lugar de los puntos mínimos. Otros temas.
Geometría Riemanniana de Espacios Homogéneos (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Grupos y álgebras de Lie; métricas bi-invariantes; representación adjunta; forma bilineal de Killing. Espacios homogéneos; métricas invariantes a la izquierda y bi-invariantes. Espacios simétricos; ejemplos. Geometría del Laplaciano. Otros temas.
Grupos y Álgebra de Lie (4 créditos, 60 horas)
Contenido: En el caso de los grupos de Lie, álgebras de Lie, aplicación exponencial, subgrupos y subalgatas de Lie, teorema de Cartan del subgrupo cerrado, grupos localmente y globalmente isomorfos, grupos simplemente conexos, fórmula de Campbell-Hausdorff y la diferencia de la exponencial. Espacios homogéneos. Estructura: grupos nilpotentes y solubles, grupos compactos e introducción a los grupos semi-simples. Sub-álgebras de Lie e ideales, representación adjunta, automorfismos y derivaciones, representaciones, álgebras nilpotentes, solubles y semi-simples.
Inmersiones Riemannianas (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Inmersiones isométricas en variedades riemannianas. Teoremas de Hartmann-Nireberg y Chern-Kuiper. Reducción de la codimensión. Las ecuaciones fundamentales y el teorema fundamental de las inmersiones isométricas. Inmersiones totalmente geodésicas, umbílicas y mínimas. El axioma de los r-planos y de las r-esferas. Hipersuperficies convexas. Hipersuperficies de Einstein. Subvariedades con curvatura no positiva. Reducción de la codimensión. Inmersiones isométricas entre espacios de curvatura seccional constante. Formas bilineales planas. Rigidez isométrica local y global. Subvariedades por consiguiente euclidianas. Inmersiones conformes.
Introducción a los Sistemas Dinámicos (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Campos Lineales: hiperbolicidad, genericidad y estabilidad. Densidad de los campos estables. Estabilidad local. Teorema de Grobman-Hartman. Teorema de la variedad estable, transformación de Poincaré, transversalidad. Teorema de Kupka-Smale. Estabilidad y densidad de los campos de Morse-Smale. Teorema de Peixoto. Funciones de Morse, campos gradientes de Morse-Smale.
Métodos Variables (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Funcionales diferenciables en el sentido de Frechet y Gateaux. Variación del gradiente de un Funcional. Ecuaciones de Euler. Condiciones suficientes de extremos. Estudios del funcional del cálculo clásico de variaciones. Minimización de funcionales de valores propios. Iniciación de las inequidades variacionales. Teorema de Lions-Stampacchia.
Semigrupos y Ecuaciones Diferenciales Parciales (4 créditos, 60 horas)
Contenido: La función exponencial. Semigrupos continuos. Teorema de Hille Yosida. Fórmulas Exponenciales. Operadores disipativos. Teorema de Lummer-Phillips. Semigrupos Compactos y Holomorfos. Teoría de la Perturbación. Problema de Cauchy Abstracto. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales parciales.
Subvenciones Mínimas (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Inmersiones mínimas en variedades riemannianas. Primera variación del volumen de una subvariedad. Subvenciones mínimas. Subvariedades mínimas en espacios euclidianos y en esferas. Órbitas de un grupo de isometrías y subvariedades mínimas. Geometría Kahleriana y la desigualdad de Wirtinger. Segunda variación del volumen; el Teorema del Índice para subvariedades mínimas; la estabilidad. El problema de Plateau y sus generalizaciones. Superficies mínimas. El Teorema de Chern-Osserman. El Teorema de Osserman sobre superficies mínimas con curvatura total finita. Superficies mínimas sumergidas. Otros temas.
Superficie de Riemann (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Definición de curvas algebraicas y superficies de Riemann. Funciones meromorfas y diferenciales meromorfas. Singularidades de curvas algebra planas, estructura local. Teorema de normalización. Divisores, números de intersección y teorema de Bezout. Fórmula de Hurwitz y fórmula del género de curvas planas. Teorema de Riemann-Roch. Teorema de Abel-Jacobi. Aplicaciones. Espacios de recubrimiento y el teorema de uniformidad. Relación con la geometría hiperbólica. Relación entre superficies de Riemann y curvas algebraicas.
Temas Especiales de Geometría I-A (4 créditos, 240 horas)
Contenido: Temas avanzados y desarrollo reciente de la Geometría Diferencial.
Temas Especiales de Geometría I-B (2 créditos, 120 horas)
Contenido: Temas avanzados y desarrollo reciente de la Geometría Diferencial
Temas Especiales de Geometría I-C
Temas Especiales de Geometría II-A (4 créditos, 240 horas)
Contenido: Temas avanzados y desarrollo reciente de la Geometría Diferencial.
Temas Especiales de Geometría II-B (2 créditos, 120 horas)
Contenido: Temas avanzados y desarrollo reciente de la Geometría Diferencial.
Temas Especiales de Geometría II-C
Temas Especiales de Métodos Matemáticos I (4 créditos, 240 horas)
Contenido: Temas de topología algebraica; Teoría de Morse y aplicaciones a problemas elípticos; Teoría del Grado de Brouwer y de Leray-Schauder. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales; Problemas elípticos con ausencia de compacidad. Espacios de Lebesgue-Sobolev con exponentes variables y Aplicaciones a problemas elípticos envolviendo el p (x) -Laplaciano y Expoentes Variables.
Temas Especiales de Métodos Matemáticos II (4 créditos, 240 horas)
Temas Especiales de Métodos Matemáticos III
Temas Especiales en Matemática Aplicada I-A (4 créditos, 240 horas)
Contenido: Diferencias Finitas. Métodos Explícitos. Métodos implícitos. Estabilidad. Teorema de equivalencia de Lax-Milgran. Métodos semidiscretos. Energía Numérica.
Temas Especiales en Matemática Aplicada II-A (4 créditos, 240 horas)
Contenido: Semigrupos de operadores lineales. Generadores infinitesimales. Semigrupo de Contracciones. Semigrupo disipativo. Teorema de Hille-Yosida. Teorema de Lumer-Phillips.
Temas Especiales en Matemáticas Aplicadas I-B
Temas Especiales en Matemática Aplicada II-B
Temas Especiales en Matemáticas Aplicadas I-C
Temas Especiales en Matemática Aplicada II-C
Topología de las Variedades (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Grupo fundamental. Espacios de recubrimientos. CW-complejos. Introducción a la Teoría de Morse: Lema de Morse; Superficies de nivel regulares; nivel crítico y pegado de células. Cohomología de deRham: Lema de Poincaré; Secuencia de Mayer-Vietoris; aplicaciones. Grado de aplicación. Índice de campo de vectores. Teorema de Poincaré-Hopf. Dualidad de Poincaré.
Topología Diferencial (4 créditos, 60 horas)
Contenido: Variedades diferenciables, definiciones, ejemplos, variedades con borde, fibrado tangente. Aplicaciones diferenciables: inmersiones, sumersiones, inmersiones. Particiones de la unidad. Teorema del buceo de Whitney. Espacio de funciones: topología, aproximaciones. Teorema de Sard. Incorporación de la perspectiva. Teoría de intersección módulo 2. Teoría de intersección orientada. Índice de Poincaré-Hopf. Teorema del punto fijo de Lefstchetz.