ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: ANÁLISE
LINHA DE PESQUISA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS ELÍPTICAS
Estudo de aspectos teóricos e aplicados de problemas matemáticos envolvendo equações diferenciais Parciais Elípticas Lineares e Não-lineares, Análise Matemática e Numérica de modelos envolvendo fluidos viscosos e incompressíveis. Tais problemas se caracterizam por sua profunda importância matemática ao utilizar técnicas relevantes tais como Métodos Variacionais, Pontos Fixos, Técnicas Multiplicativas, Método de Galerkin e outros.
LINHA DE PESQUISA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS HIPERBÓLICAS, PARABÓLICAS E APLICAÇÕES
Nesta linha de pesquisa são abordados vários tópicos, dentre os quais destacamos:
A) Análise Assinótica de Modelos de Evolução: o objetivo principal nesta linha de pesquisa é detectar propriedades qualitativas das soluções de modelos significativos de equações diferenciais parciais de evolução lineares ou não lineares, mais precisamente o tipo de comportamento das soluções quando o tempo T é muito grande. É quase impossível nestes modelos ter a solução explícita do problema, porém, usando a teoria de Lyapunov bem como a teoria de semigrupo de operadores lineares podemos, em várias situações, descobrir taxas uniformes de decaimento das soluções, seja no sentido exponencial ou no sentido polinomial.
B) Comportamento Assinótico de equações diferenciais parciais acopladas com Mecanismos Dissipativos. Sistemas do tipo Timoshenko, sistemas de ondas acopladas, sistemas poro-elásticos dentre outros, são amplamente explorados no contexto da estabilização.
C) Análise Numérica das Soluções Associadas a Problema de Evolução: analisar as propriedades de estabilidade exponencial uniforme para sistemas hiperbólicos ou parabólicos no contexto de análise numérica, principalmente, sistemas em que a propriedade de decaimento exponencial não corra ou aconteça de modo condicionado, tais como para sistemas dissipativos de Timoshenko, sistemas de ondas acopladas em paralelo com mecanismos de dissipações mecânicas, sejam elas globais, localizadas ou pontuais. Além das questões de decaimento exponencial numérico, podemos analisar também as questões de taxas ótimas de aproximações.
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: GEOMETRIA
LINHA DE PESQUISA: ANÁLISE GEOMÉTRICA
A extensão da análise de operadores diferenciais em domínios do espaço euclidiano para o contexto de variedades Riemannianas é um tópico moderno e relevante que envolve conceitos geométricos e analíticos e tem recebido bastante atenção na literatura recente. Suas técnicas já permitiram resolver problemas que permaneciam em aberto há décadas, como é o caso da célebre Conjectura de Poincaré. Nossos pesquisadores têm investigado, nesta linha, problemas relacionados a equações diferenciais em ambientes geométricos curvos. As ferramentas utilizadas se alternam de acordo com aspectos analíticos ou geométricos. Uma das propostas é estender para variedades Riemannianas os resultados mais relevantes já existentes para domínios do espaço euclidiano. Fluxos de métricas são considerados para uma melhor compreensão dos entes geométricos de uma variedade Riemanniana, como por exemplo, generecidade de autovalores de operadores elípticos. Investigaremos problemas envolvendo curvaturas prescritas utilizando, dentre outras ferramentas, a teoria de existência e regularidade de equações elípticas não lineares. Além de caracterizações de variedades Riemannianas via ferramentas clássicas da análise e da geometria, como por exemplo, o cálculo das variações e geometria das subvariedades.
LINHA DE PESQUISA: GEOMETRIA DAS SUBVARIEDADES
Os trabalhos de pesquisa na linha de geometria das subvariedades compreendem principalmente dois tópicos: A) Imersões de Variedades Khalerianas: o programa de trabalho proposto neste tópico consta principalmente do estudo de vários problemas relacionados a imersões de variedades kählerianas em espaços simétricos. O espaço ambiente poderá ter ou não estrutura complexa. Tais problemas envolvem harmonicidade, pluri-harmonicidade, holomorfia, isotropia, estabilidade, rigidez, restrições topológica e geométricas etc. Esta linha de pesquisa envolve: 1) A Caracterização de Subvariedades Kählerianas Extrinsecamente Simétricas, como por exemplo o mergulho "standars" do CPn em espaços euclideanos; 2) O Estudo de Estabilidade das Imersões Pluri-mínimas; 3) O Estudo do Modo como a Estabilidade da Aplicação de Gauss F, com valores no grassmaniano Gm(Rn), de uma imersão ppmc f no Rn, influencia as características da imersão; 4) O Estudo das Submersões Riemanianas com fibras (2,0)-geodésicas ou ppmc. Este estudo conduz naturalmente a outros problemas como: 1) O Estudo de Estabilidade das Imersões Pluri-mínimas, quando o espaço ambiente tem estrutura complexa tais imersões estão em uma situação intermediária entre as mínimas e as holomorfas, uma vez que todas as subvariedades holomorfas são pluri-mínimas e todas as pluri-mínimas são mínimas, mas as recíprocas só são válidas em casos especiais. Será importante obter condições que caracterizem a estabilidade de tais imersões ou que possibilitem estimar os índices de Morse; 2) O Estudo do Modo como a Estabilidade da Aplicação de Gauss F, com valores no grassmaniano Gm(Rn), de uma imersão ppmc f no Rn, influencia as características da imersão. Já mostramos que a geometria de f está estritamente relacionada à geometria de F; 3) O Estudo das Submersões Riemanianas com fibras (2,0)-geodésicas ou ppmc. As imersões (2,0)-geodésicas de uma variedade de Kähler M em Rn foram classificadas por D.Ferus. No caso em que a variedade imersa tem dimensão 2, serão consideradas as imersões cujo vetor curvatura media é paralelo em alguns espaços simétricos, tais como os espaços projetivos complexos, produtos de espaços de curvatura constante etc, procurando a codimensão essencial e a discrição da imersão quando a superfície tem gênero zero ou satisfaz outras propriedades. B) Subvariedade Harmônicas de Espaços Homogêneos: este tópico aborda as aplicações harmônicas definidas em uma variedade complexa e tomando valores em um espaço homogêneo. A geometria destas subvariedades são estudadas a partir dos invariantes associados à ação de um grupo de Lie sobre o espaço homogêneo e em particular sobre a subvariedade.
LINHA DE PESQUISA: PROCESSAMENTO DE SINAIS
Fluxo óptico se constitui em uma rica fonte de informação sobre a geometria dos objetos rígidos. Nesta linha de pesquisa pretendemos usar câmaras 3D conjuntamente com métodos de restrição global para obter soluções das equações que relacionam o fluxo óptico com a geometria e os deslocamentos do objeto. Também nesta linha podemos abordar uma série de problemas inversos, entre os quais a superposição de estruturas lineares em imagens de raios X, oclusão, e deslocamentos múltiplos em transparências são exemplos típicos, podem ser escritos como uma contração total entre tensores Rij..k Cij..k=0 (soma n) onde C = ulxu2...xuN (produto tensorial de N vetores). Procuramos identificar condições que permitem determinar C, como um trabalho de pesquisa aplicado podemos desenvolver uma câmara plenóptica. Essa parte da pesquisa tem uma conotação mais prática. A câmara pode ser construída a partir de uma câmara de alta resolução e uma matriz de microlentes. Cada pixel da imagem de uma câmara é feita de pequenas imagens. Cada uma delas corresponde a uma microlente. Tem-se portanto uma coleção de imagens em baixa resolução que podem ser combinadas diferentemente para se obter imagens de alta resolução. Podemos então investigar se essa coleção de pequenas imagens nos permite recuperar informações sobre geometria do objeto fotografado.
LINHA DE PESQUISA: TEORIA GEOMÉTRICA DO CONTROLE
Os pesquisadores desta linha dedicam-se ao estudo do Controle Otimal em Grupos de Lie e Métricas SubRiemannianas. Trata-se de um projeto de pesquisa em matemática que reúne três áreas afins: Geometria Diferencial, Estruturas SubRiemannianas e Teoria do Controle Optimal, envolvendo os seguintes tópicos: Controle Otimal para Sistemas Lineares em Grupos de Lie e Espaços Homogêneos e Frentes de Onda, Singularidades e Causticas em Variedades Subriemannas Homogêneas.